ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Suites & séries, critères de convergence       Suites de Cauchy , séries , critères        notion de suite et de série selon d'Alembert

Dans son cours d'analyse à l'École royale polytechnique, Cauchy précise les notions fondamentales de suite et de série en établissant des critères de convergence.

N désignant l'ensemble des entiers naturels, une suite d'éléments d'un ensemble E est une application de N, ou une partie de N de la forme [n,+[, vers E. Par souci de simplifier les notations, on n'utilise pas la notation fonctionnelle :

• Considérons l'application f qui à tout n de N^* (N privé de 0) associe le rationnel 1 - 1/n. On a donc f(n) = 1 - 1/n pour tout n non nul. On préfère dire : soit (u_n) la suite à valeurs dans R définie par :  nN^* , u_n = 1 - 1/n

La notation u_n, dite indicielle est due à Lagrange : n est placé en indice, par opposition à la notation exponentielle où n serait placé en exposant : uⁿ signifiant u puissance n lorsque u désigne un nombre. Dans notre exemple, pour désigner 1 - 1/n, plutôt que de parler de l'image de n, on parlera de terme général.

Une suite est dite numérique si ses éléments u_n sont des nombres réels (ou complexes, mais alors on préfère parler de suite complexe). L'exemple 1 est une suite numérique (de nombres rationnels). Une suite à valeurs dans N est parfois qualifiée de suite entière.

Les éléments d'une suite peuvent être des fonctions numériques à valeurs réelles ou complexes du type u_n = f_n(x), x appartenant à un ensemble précisé. On parle de suite de fonctions. C'est un cas fondamental d'analyse fonctionnelle dont les applications en sciences physiques sont nombreuses.

• Pour tout n de N* et tout x réel, x -n, on pose :

On définit ainsi une suite (f_n) de fonctions numériques. Si x n'est pas un entier relatif, le nombre f_n(x), terme de rang n, existe pour tout n. Si, malencontreusement, x est un entier relatif n_o, la suite (f_n) est définie sur N_o = [n_o+1,+[.

Dans notre exemple 1, il est intuitif que si n devient infiniment grand, u_n s'approche de plus en plus de 1. Notre suite étant à valeurs dans R contenant 1 : la suite est dite convergente. On dit que la suite (u_n) converge vers 1 ou que la suite (u_n) tend vers 1 : c'est la limite de la suite. On dit aussi que u_n tend vers 1 lorsque n tend vers l'infini en utilisant ainsi le vocabulaire des limites de fonctions, et on écrit :

 lim u_n = 1

(u_n) converge également si nous l'avions définie à valeurs dans Q. Mais, attention : la limite calculée doit appartenir à l'ensemble des valeurs des u_n précisé dans l'énoncé de la suite.

En termes rigoureux :        

Soit  (u_n) une suite à valeurs réelles ou complexes et L un élément de R ou C. On dit que la suite (u_n) converge vers L pour exprimer que :

En d'autres termes :

Aussi petit que soit le nombre strictement positif e, il existe une valeur N (qui dépend de e) assurant la présence de tous les u_n dans l'intervalle ]L - e, L + e[ à partir du rang N.

Le fait que e puisse être choisi arbitrairement petit signifie que l'on pourra exhiber un N afin que la différence absolue entre u_n et L soit aussi petite que l'on voudra.

Cette définition "à la Weierstrass" a le mérite d'être opérationnel en toute circonstance et d'éviter un langage trop intuitif comme le fit, malgré sa rigueur, Cauchy dans les années 1820. Elle conduit ensuite, comme pour les fonctions, à des résultats évitant l'usage laborieux des e et des quantificateurs. En particulier :

• Si (u_n) et (v_n) convergent, alors lim (u_n + u_n) = lim u_n + lim v_n  et lim u_nv_n = lim u_n lim v_n

• Si (u_n) et (v_n) convergent et lim v_n 0, alors lim 1/v_n = 1/lim v_n et lim (u_n/v_n) = lim u_n/lim v_n

Limites et rigueur selon Weierstrass :

Suite divergente :     

Une suite non convergente est dite divergente. On dit aussi qu'elle diverge. Ce qui ne signifie pas que u_n tend vers l'infini :

• La suite de terme général u_n = 2n + 1 est divergente : on peut cependant parler de limite infinie.

• La suite de terme général u_n = (-1)ⁿ est divergente : la suite des valeurs se résume à -1 et 1 suivant la parité de n.
• La suite de terme général u_n = sin(n) est divergente : la suite des valeurs oscille indéfiniment dans l'intervalle [-1,1].

• La suite à valeurs dans Q définie par r_o = 1  et  r_n+1 = (r_n + 2/r_n)/2 est divergente ! en effet, pour n infini, on sait que r_n tend vers 2Q. Pour qu'elle soit convergente,  il aurait fallu la définir à valeurs dans R !

Suites arithmétiques, suites géométriques (progressions) :

Suite croissante, décroissante, majorée, minorée :     

  Une suite numérique est dite croissante (resp. décroissante) si, à partir d'un certain rang, on est assuré d'avoir u_n+1 ≥ u_n (resp. u_n+1 ≤ u_n).  On parle de croissance (resp. décroissance) stricte si u_n+1 > u_n (resp. u_n+1 < u_n).

  Si, à partir d'un certain rang, u_n garde la même valeur, la suite est dite stationnaire.

  Une suite numérique est dite majorée (resp. minorée) par M si, à partir d'un certain rang, on est assuré d'avoir u_n M (resp. u_n M).

Prouver que toute suite numérique strictement croissante et non majorée tend vers +∞.
De même, toute suite numérique strictement décroissante et non minorée tend vers -∞

Convergence et suite croissante majorée ou décroissante minorée :             Suites adjacentes :

Dans notre exemple 2, la suite de fonctions (f_n) converge vers la fonction g : x x. En effet, x étant donné, f_n(x) peut s'écrire (x - 1/n)/(x/n + 1). Lorsque n tend vers l'infini, x - 1/n tend vers x et et x/n + 1 tend vers 1, d'où lim f_n(x) = x/1 = x.

Dans le cas général et en termes rigoureux, lorsque x est élément d'une partie D de R ou C :

Dans le cas plus général où l'espace d'arrivée (valeurs prises par f) est un espace métrique, resp. normé, remplace R ou C, d(f_n(x),g(x)), resp. ||f_n(x) - g(x)|| remplacera |f_n(x) - g(x)|.

Espace métrique :                              Espace vectoriel normé :

Plus général encore est le cas de fonctions f_n : E F où l'espace d'arrivée F est un espace topologique quelconque :

On parle ici de convergence simple : la fonction g est la limite simple des f_n, la suite f_n converge simplement vers g. Ceci pour distinguer d'une convergence plus forte qui est la convergence uniforme que définiront Gudermann (1838) puis Cauchy (1853) où l'existence de N ne dépend plus de x. Weierstrass finalisera le concept :

Topologie de la convergence simple :                        Topologie de la convergence uniforme :

On peut sommer, jusqu'à l'infini, les éléments d'une suite (u_n) à partir d'un certain rang; on parle alors de série. L'élément u_n en sera le terme général. Une série est dite convergente si la suite (S_n) de ses sommes partielles, à savoir :

est convergente. La limite S de S_n est la somme de la série.

Vu que S_n - S_n-1 = u_n , il apparaît une condition nécessaire de convergence : le terme général doit tendre vers 0.

Une série sera au contraire dite divergente si la suite de ses sommes partielles diverge (ne converge pas). La (célèbre) série harmonique 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...est divergente. En effet :

On trouvera la preuve de ce résultat dans le calcul de la constante d'Euler.

On considère la série de premier terme u₁ = 1, de terme général u_n = 11111...1 (n chiffres égaux à 1).
Calculer S_n = u₁ + u₂ + ... + u_n
Indication et réponse : calculer 9S_n = (10 - 1) + (100 - 1) + ... (10ⁿ - 1) = 10(1 + 10 + 10² + ... + 10^n-1) - n.
S_n = 10(10ⁿ - 1)/81 - n/9

Dire qu'une série diverge ne signifie pas que les sommes partielles tendent vers l'infini : la série de terme général u_n = (-1⁾ⁿ est divergente. En effet, S_2n = 1 et S_2n+1 = -1, la suite des sommes partielles reste finie mais ne converge pas.

Notons encore ici que modifier l'ordre des termes d'une série est illicite et peut modifier la somme et la nature de la série (convergente ou divergente) sauf si la série est à termes positifs : 

Soit φ une permutation de N (bijection de N sur N) et Su_n une série à termes positifs, alors Su_n et Su_φ(n) sont de même nature (toutes deux convergentes ou divergentes) et, si elles convergent, elles ont même somme.

Dans le cas plus général d'une série à termes complexes, on a un résultat analogue pour une suite absolument convergente.

Grandi et la série 1 - 1 +1 - 1 + 1 - 1 + ... :                  Leibniz et la série harmonique alternée :

Exemple fondamental :      

La série de puissances, de terme général xⁿ, dite série géométrique de raison x, où x désigne un nombre de valeur absolue inférieure à 1, est convergente. La limite de S_n est ici 1/(1 - x). C'est la somme de la série. En effet, il est facile de prouver par multiplication ou par récurrence, que :

et si | x | < 1, alors xⁿ⁺¹ a pour limite 0. On peut donc écrire :

On parle ici de série de fonctions car le terme général  peut s'écrire f_n(x) = xⁿ , image de x par la fonction f_n : xxⁿ. Posons alors f(x) = 1/(1 - x). tout comme dans le cas des suites, nous dirons que la série de terme général (f_n) converge simplement vers la fonction f pour tout x de l'intervalle ]-1,1[, ou encore que f est la limite simple de la série des (f_n) sur cet intervalle. Là encore, on parle de convergence simple pour la distinguer de la convergence uniforme :

Weierstrass et la convergence uniforme :                    Abel et les séries entières :

Pour une série de terme général u_n, que nous noterons dans la suite Su_n, posons :

R_n = u_n+1 + u_n+2 + u_n+3 + ...

R_n est appelé reste de rang n de la série Su_n. On définit ainsi une suite. On prouvera aisément que :

Une série est convergente si et seulement si son reste R_n converge vers 0.

Dans le cas d'une série à termes strictement positifs (tout au moins à partir d'un certain rang), des conditions suffisantes de convergence (théorèmes de comparaison) sont énoncées ci-dessous, mais rappelons tout d'abord un résultat intéressant, conséquence immédiate du théorème selon lequel toute suite croissante majorée de nombres réels est convergente :

Pour qu'une série numérique positive soit convergente il faut et il suffit que la suite S_n de ses sommes partielles soit majorée.

Appliquer ce dernier résultat à la série de Riemann de terme général 1/n² en montrant que la suite des sommes partielles 
est inférieure à 2.- 1/n. Indications : remarquer 1/n² < 1/n(n - 1) = 1/(n - 1) - 1/n  

1a/ Série majorée :

Si la série Sv_n est  convergente et si, à partir d'un certain rang p on a u_n v_n , alors Su_n converge.

• Par exemple : la série de terme général u_n = 1/n! (n 0) converge car à partir du rang n = 3, on a u_n < 1/2ⁿ. Or, la série de terme général 1/2ⁿ (n 0) est géométrique de raison 1/2 < 1. Elle converge vers 2. Par suite, la série des u_n converge et sa somme est inférieure à 3 (on ajoute u_o et u₁) et supérieure à 2 = u_o + u₁. C'est le nombre e.

Le nombre e selon Euler :

A contrario, si la série Sv_n est  divergente et si, à partir d'un certain rang p on a u_n v_n , alors Su_n diverge.

• Par exemple : la série de terme général u_n = 1/ln(n)  (n 2) est divergente (ln = logarithme népérien) : comparer à la série harmonique.

2/ Séries de même nature :    

2a.  Si u_n et v_n sont proportionnels (il existe k non nul tel que u_n = kv_n) converge vers un réel non nul, alors les séries Su_n et Sv_n sont de même nature (toutes deux convergentes ou divergentes).

2b.  Si la suite u_n /v_n converge vers un réel non nul, alors les séries Su_n et Sv_n sont de même nature (toutes deux convergentes ou divergentes).

 Un p'tit exo d'application ? : étude de la série de terme général 2n/(2n-1)^k

2c.  Si u_n et v_n sont des infiniment petits équivalents pour n tendant vers l'infini, alors les séries sont de même nature (toutes deux convergentes ou divergentes).
Rappel : la condition u_n 0 est une condition nécessaire de convergence. Dans ces deux cas b et c, on parle de séries équivalentes.

  Par exemple : appliquons ce dernier résultat à l'étude de la convergence de la série de terme général :
 
La série auxiliaire a pour terme général v_n = kⁿe^{-(n.ln k)²}. Utilisons le critère de d'Alembert : Le rapport v_n+1/v_n peut s'écrire k/e^{(ln k)²(2n + 1)} tendant vers 0 pour n infini. d'où la convergence de la série des v_n et celle des u_n.

3/  Règles de d'Alembert :  

3a.  Si, à partir d'un certain rang, on a u_n+1 /u_n k < 1 alors Su_n converge. Si, à partir d'un certain rang, u_n+1 /u_n 1, Su_n diverge (c'est le cas si le rapport tend vers 1 par valeurs supérieures).

3b.  Si, à partir d'un certain rang, on a u_n+1/u_n v_n+1/v_n où Sv_n est une série convergente, alors Su_n converge. Ce résultat conduit au critère de d'Alembert.

Règle de Duhamel :                     Règle de Kummer :

4/ Règle n^αu_n :
α désignant un réel positif, si la suite de terme général n^αu_n converge verts une limite finie non nulle k, alors la série Su_n converge si α > 1, diverge sinon.

Exemple d'application

  Ce résultat est une conséquence de cet important cas particulier :

la série, 1 + 1/2^p + 1/3^p + 1/4^p + 1/5^p + 1/n^p + ... dite série de Riemann, converge pour p > 1, diverge sinon. Remarquer que pour p = 1, on retrouve la série harmonique.

Preuve : on regroupe les termes de rang 2 à 3 = 4 - 1, 4 à 7 = 8 - 1, 8 à 15 = 16 - 1, etc. La somme est alors inférieure à :

 1 + 2/2^p + 4/4^p + 8/8^p + 16/16^p + ... = 1 + 2^p-1 + 1/4^p-1 + 1/8^p-1 + 1/16^p-1 + ...

On reconnaît la somme des termes de la progression géométrique (série géométrique) de 1er terme 1, de raison 1/2^p-1 qui converge si cette raison est strictement inférieure à 1, donc si p > 1.

Prouver que la série 1 + 1/3² + 1/5² + 1/7² + 1/9² + 1/11² + 1/13²  + 1/15² +... est convergente.

Séries de Riemann et fonction zêta :               Cas des séries alternées (critère de Leibniz)  : 

5/ Comparaison à une intégrale (critère intégral de Cauchy) :

La notion d'intégrale au sens de Riemann conduit à cet important résultat :

Si u_n = f(n) est une fonction positive et décroissante de n, alors la série u_n est de même nature que l'intégrale de f sur [0,+]. Même résultat si u_n = f(a + n) et l'intégrale de f sur [a,+], a >0.

C'est ainsi que l'on peut prouver la convergence de la série de Riemann de terme général 1/n^p dont il est fait état ci- dessus.

Utiliser le critère intégral afin de prouver que la série de terme général u_n = 1/ln(nⁿ)  (n 2) est divergente.

Séries de Bertrand :                   Critères de Cauchy  :

Une série Su_n sera dite absolument convergente si S|u_n| est convergente (valeur absolue dans le cas réel, module dans le plan complexe). Par opposition, la convergence de Su_n est dite simple. Vu que |Su_n| S|u_n|, il est clair que, conséquence très utile dans la pratique :

Toute série absolument convergente est simplement convergente.

• Un cas fondamental de série convergente non absolument convergente est la suite harmonique alternée évoquée pour la première fois par Leibniz :  1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ... = ln 2.

  La série harmonique (exemple de série divergente) :                Séries asymptotiques :

  Il s'agit de bien distinguer la convergence absolue de la convergence normale :

Une série de fonctions (réelles ou complexes) de la forme Su_n(z) sera dite normalement convergente, s'il existe une série Sv_n convergente à termes positifs pour laquelle on a pour tous n et z : |Su_n(z)| u_n.

Plus généralement, dans le cas où la série des u_n(z) est à valeurs dans un espace vectoriel normé, on a les mêmes définitions : la norme || || remplaçant alors la valeur absolue (ou le module du cas complexe).

En savoir plus sur la convergence uniforme et normale :                   Cas des séries entières :

Il est tout a fait illégal de modifier l'ordre des termes d'une série sans avoir prouvé au préalable qu'elle est absolument convergente ! Cette condition suffisante pour autoriser un réarrangement des termes fut prouvé par Dirichlet en 1837.

Dans le cas réel ou complexe, on a le résultat suivant :

Soit φ une permutation de N (bijection de N sur N) et Su_n une série réelle ou complexe absolument convergente, alors Su_φ(n) l'est aussi et a même somme.

L'exemple de la série harmonique alternée par réarrangement des termes :

Considérons deux séries Su_n et Sv_n et leurs sommes partielles U_n = u_o + u₁ + u₂ + ... + u_n  et  V_n = v_o + v₁ + v₂ + ... + v_n. Faire le produit des deux séries consiste à sommer tous les produits du type u_iv_j. Mais pas n'importe comment car cela peut changer la somme ou la nature de la série :   Dirichlet

Écrivons-les sous forme d'un tableau :

On décide de sommer suivant les diagonales "nord-est sud-ouest" : elle s'écrit donc :

u_ov_o  + (u_ov₁ + u₁v_o) + (u_ov₂ + u₁v₁ + u₂v_o) + (u_ov₃ + u₁v₂ + u₂v₁ + u₃v_o) + ...

C'est ainsi que la série de terme général

w_n = Σu_kv_n-k    (0 k n)

soit :

w_n =  u_ov_n  + u₁v_n-1  + u₂v_n-2  + ... + u_n-1v₁  + u_nv_o

est appelée série produit au sens de Cauchy.

Théorème de Cauchy (1821) :         

Lorsque les séries sont absolument convergentes, la série-produit l'est aussi et sa somme est le produit des sommes de Su_n et Sv_n. Autrement dit :

                    Théorème de Mertens

 Contre exemple de Cauchy
Considérer la série de terme général 1 -1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ... et la série produit par elle-même.
a)  Montrer que son terme terme général s'écrit :

b)  En utilisant que la moyenne arithmétique (a+b)/2 de deux nombres positifs  a et b est supérieure à leur moyenne géométrique (ab), montrer que la série produit diverge.           moyennes arith. et géom.

L'usage des séries-produits se rencontre couramment dans le cas des séries de fonctions :

Cas de la fonction exponentielle :  

Suites de Cauchy, critères de Cauchy pour les suites et les séries :

e désignant un nombre arbitrairement petit et positif, on nomme ainsi une suite numérique (u_n) pour laquelle |u_m - u_p| < e à partir d’un certain rang. Plus précisément, en notations "modernes" (depuis Weierstrass et Bourbaki) :

ε , N_εN  /  m > N_ε , p > N_ε  |u_m - u_p| < ε

Il est clair que toute suite convergente est une suite de Cauchy. Inversement :

Toute suite de Cauchy réelle est convergente

et la définition précédente devient le critère de convergence de Cauchy.

  Mais si l'on se place dans un espace métrique quelconque, cette réciproque est fausse (en général). On s'en convaincra avec l'exemple classique de la suite de nombres rationnels ainsi définie :

Q étant muni de sa distance euclidienne usuelle, la suite de terme général :
 

converge vers le nombre e , base des logarithmes népériens, nombre réel non rationnel : il est transcendant. C'est ainsi que l'on peut construire l'ensemble R des nombres réels afin de compléter l'ensemble des nombres rationnels.

Un espace métrique dans lequel toute suite de Cauchy converge est dit complet.

Le critère de Cauchy pour les séries :      

Il permet d'étudier la convergence des séries numériques (à valeurs dans R) : notons S_n = u₁ + u₂ + ... + u_n. La série de terme général (u_n) est convergente si et seulement si :

Pour tout k, k entier : S_n+k - S_n = u_n+1 + ... + u_n+k tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.

Critère intégral :

Deux autres critères de Cauchy :       

Donné dans son cours à l'École polytechnique (1821), il concerne la convergence des séries réelles ou complexes. Une série de terme général u_n est comparé à une suite géométrique de terme positif dont on connaît les conditions de convergence. On est alors amené au résultat suivant :

1.  Soit r_n le module (valeur absolue dans le cas réel) de u_n ; si, lim (r_n)^1/n = l < 1, alors la série de terme général u_n converge. Si lim (r_n)^1/n = l > 1, alors la série de terme général u_n diverge. Le cas l = 1 est litigieux (on ne peut rien conclure).
  

Vérifier au moyen de ce critère que la série de terme général u_n = e^1-n est convergente.
Rép : on a ici u_n > 0 et (u_n)^1/n = (e^1-n)^1/n = e^(1-n)/n tendant vers e^-1 = 1/e < 1 : la série converge.

Dans le cas d'une série à termes strictement positifs, lorsque  lim u_n+1/u_n ( règle de d'Alembert) existe finie ou non, on peut démontrer que c'est aussi la limite de  (u_n)^1/n, la réciproque étant fausse :

• Considérer la suite (u_n) définie par u_n = 2 + (-1)ⁿ. On a u_n = 3 si n pair et u_n = 1 si n impair. Suivant que n est pair ou impair, u_n+1/u_n prend les valeurs 1/3 et 3 : pas de limite. Mais (u_n)^1/n vaut 1 si n est impair et 3^1/n si n pair. Or 3^1/n tend vers 1 pour n infini puisque son log tend vers 0. Ce qui montre que (u_n)^1/n converge vers 1.