ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Maximum d'une fonction numérique sur un intervalle borné   
   
 Utiliser le programme JavaScript on line

On se propose d'étudier un algorithme très efficace pour la recherche du minimum et du maximum d'une fonction numérique sur un intervalle fermé borné [a,b]. Nous procédons ici par trisection : f désigne une fonction partout définie sur [a,b]. On note h = b - a. Calculons yp = f(a + h/3) et ym = f(b - h/3).

Si yp ym, on peut exclure le premier tiers de l'intervalle [a,b] et on recommence en remplaçant a par a + h/3. Sinon, on exclut le dernier tiers et on recommence en remplaçant b par b - h/3.

C'est le terme général d'une suite géométrique de raison positive, inférieure à 1 : l'amplitude tend vers 0. C'est dire que le procédé converge vers un intervalle réduit à un point xo pour lequel f est maximale. Dans la pratique on s'arrête si h est inférieur à une précision fixée par l'utilisateur. Nous choisissons ici h = 10-6.

 Mais comment trouver le minimum de f sur [a,b] ?  c'est tout simplement le maximum de -f !

Programmation de la méthode en JavaScript

  Pour tester ce programme vous devez entrer votre fonction en utilisant une syntaxe comprise par le langage JavaScript. L'instruction with (Math), placée en début de procédure, évite à l'utilisateur de préciser Math devant chaque fonction mathématique utilisée. Les opérations et fonctions usuelles sont les suivantes :

 fonctions mathématiques usuelles

Par défaut, la fonction fournie au programme est y = ln2(x) + x admettant un minimum absolu

On a f '(x) = 2 ln(x)/x + 1. Une étude élémentaire permet d'affirmer que f admet un minimum lorsque 2ln (x) + x = 0, soit lorsque ln(x) = -x/2. Ce minimum est atteint pour un x compris entre 0 et 1 (car il faut ln x < 0). On lance le programme avec a = 0,1 et b = 1 en fournissant la fonction :

- log(x)*log(x) -x   (l'opposé de f puisqu'on cherche un minimum)

Le résultat est quasi instantané : on obtient le minimum 0,82718 en x 0,70356.


 


<SCRIPT LANGUAGE=JavaScript>

var fonc,pi,e
pi=3.141592653589793;
e=2.7182818284590452;
function go()
{
with (Math)
{
fonc="-log(x)*log(x)-x"
a=0.1 ; b=1;
fonc=prompt("Entrez votre fonction :",fonc)
a=eval(prompt("Entrez a :",a))
b=eval(prompt("Entrez b :",b))
h=b-a;
while(h>1e-6)
{
yp=f(a+h/3);ym=f(b-h/3)
if (yp<=ym) {a=a+h/3} else {b=b-h/3}
h=b-a;
}
x=(a+b)/2; y=f(x);
alert("Max f = "+arr(y)+" en x = "+arr(x))
}
}
function f(x)
{with(Math) {y=eval(fonc) ; return y}}

function arr(x)
{return Math.round(x*1e6)/1e6}

</SCRIPT>


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