ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Sinusoïde : fonctions sinus     fonction cosinus         animation        tangente, cotangente        exercices

• Nom de la fonction : sinus (circulaire), abrégé en sin  Girard. C'est une fonction transcendante.
  Étymologie : du latin sinus = pli, cavité , mais cette racine sémantique est erronée :    Regiomontanus
• Périodique : oui, période : 2p
• Fonction impaire = sin(-x) = -sin(x)
• Fonction dérivée : cos(x), fonction cosinus       calcul de la fonction dérivée
• Primitive : - cos(x), opposée de la fonction cosinus       primitive de 1/sin(x)

• Nom de la courbe associée : courbe des sinus puis sinusoïde, mot à mot : en forme de sinus (du grec eïdos = forme).
  Étudiée par Leibniz et Newton, la courbe doit son appellation plus tardivement à Bernard Forest de Belidor (1693-1761), savant français, professeur à l'Ecole d'artillerie de la Fère (Aisne, France), spécialiste en fortifications et en hydraulique, dans son Cours de mathématiques de 1725.

• Développement en série : Leibniz

 

Si l'on considère un angle ^xAy et les perpendiculaires [BC), [B'C'), [B"C"), ... au côté [Ax), la propriété de Thalès permet d'affirmer que les rapports BC/AC, B'C'/AC', B"C"/AC", ... ne dépendent que de l'angle ^xAy. Ces rapports sont le sinus de cet angle.

Le lecteur attentif doit se demander si l'on obtient les mêmes valeurs lorsqu'on préfère tracer des perpendiculaires au côté [Ay) à partir de [Ax)...

Sur la figure ci-contre la question est alors a-t-on BC/AC = DE/AE ? On se convaincra d'une réponse positive en considérant le triangle où AF = AB et AG = AC, symétriques par rapport à la bissectrice de l'angle ^xAy. On a donc FG/AG = BC/AC = sin^xAy.
 
Dans un repère orthonormé (O,I,J) , c'est l'ordonnée (à gauche : mesure algébrique de OK) d'un point M en rotation sur un cercle centré en O, de rayon 1 (cercle trigonométrique), d'où le nom de fonction circulaire (au nombre de trois avec cosinus, ci-dessous) et tangente.

Selon d'Alembert : ligne droite tirée d'une extrémité d'un arc perpendiculairement sur le rayon qui passe par l'autre extrémité.

Dans un triangle ABC rectangle en A, le sinus d'un angle aigu (^B ou ^C) est égal au quotient (des mesures) du côté opposé par l'hypoténuse. Par exemple : sin ^B = AC/BC.

Elles sont innombrables ! Les fonctions sinus et cosinus sont sans doute les fonctions les plus rencontrées dans les applications scientifiques. En usage dès l'Antiquité en Astronomie, on les rencontre en Électricité (par exemple, le courant EDF est sinusoïdal de fréquence 50Hz, soit de période 1/50), en Mécanique (élasticité, fluidité, marées, ...), en Acoustique (propagation du son), en Électromagnétisme (ondes radios ou hertziennes) , en Optique (réfraction), en Topographie (trigonométrie), etc.

 Ptolémée, Aryabhata, Al Battani, Regiomontanus, Roberval
 

Déplacer le point P : la courbe sinus apparaît en rouge

Formules élémentaires : on peut les prouver au moyen du théorème de Ptolémée :

• sin(a + b) = sin a.cos b + sin b.cos a

• sin(a - b) = sin a.cos b - sin b.cos a                    formules de transformation de sommes en produits       cliquez ici

• sin 2a = 2sin a.cos a

Autres formules pratiques :

• sin(a + b + c) = sin a.cos b.cos c + cos a.sin b.cos c + cos a.cos b.sin c - sin a.sin b.sin c

• sin 3a = 3sin a - 4sin³a   ,   sin 4a = cos a(4sin a - 8sin³a)

• sin³a = ¼(3sin a - sin 3a)

Werner Johannes :

Collégiens : apprenez à rédiger sans confondre un angle avec son sinus, son cosinus ou sa mesure... Par exemple, dans le triangle ABC ci-dessous, rectangle en A, on suppose AB = 4 cm et BC = 6 cm. La consigne est Calculer l'angle ^C à 0,1 près. Une rédaction pourra être la suivante :

La calculatrice affiche 41.8103... : 41,8 est une réponse à 0,1 près par défaut. Il ne faut pas lui fournir à la machine une approximation de la valeur d'un sinus ou d'un cosinus car vous risquez de perdre la (ou les) décimale(s) demandée(s). Ici, en fournissant 0.66 au lieu de taper la séquence  2   ÷   3   =  sur la calculatrice (pour 2/3), vous trouverez 41.299..., soit 41°, 3 à 0,1 près (par excès) : on est loin de 41,8... Avec 0.666, la 1ère décimale sera juste : 41.759..., soit 41°,8 à 0,1 près (par excès). Ajoutons que la consigne ne demande pas un arrondi à 0,1 près mais seulement une valeur approchée à 0,1 près qui peut donc être par défaut ou par excès. La réponse ne doit pas excéder 0,1 en plus ou en moins par rapport à la valeur exacte :

On voit sur ce dessin que répondre 41,9 est également une réponse acceptable à 0,1 près mais pas 41,7 ! L'arrondi à 0,1 près est la valeur approchée la plus proche parmi les deux valeurs par défaut et par excès : ici ce sera 41,8.

Si la consigne était à 0,01 près, alors la bonne réponse est 41°,81 (ou 41,82 mais ce ne serait pas très pertinent) et 0.666 comme approximation de 2/3 donnera 41°,76, ce qui serait donc tout à fait faux ! Il faudra fournir 0.6666 pour obtenir 41.805... et le même arrondi 41°,81 (valeur approchée par excès). Enfin, si la consigne était, au degré près, il s'agirait de donner l'entier le plus proche, soit ici : 42°.

Arrondis et troncature :

Autre cas : on suppose cette fois AB = 5 cm et ^C = 72°. La consigne est Calculer BC au  dixième de millimètre près. Une rédaction pourra être la suivante :

Mêmes mises en garde que précédemment. L'unité choisie étant le cm, le millimètre correspond au 1/10è de l'unité et le dixième de millimètre correspond au 1/100è de l'unité, d'où le calcul à 0,01 près.

Son équation est y = sin(3x + p/4). Dans la forme y = a.sin(bx + c), a est l'amplitude, b est la pulsation, c est la phase. En sciences physiques (électricité, optique), on écrit traditionnellement ce type d'équation sous la forme y = a.sin(wt + f), où t désigne le temps. Le nombre est alors la fréquence, inverse de la période T = 2p/w.

 

On a choisi ici une équation de la forme y = a.sin(bx) - b.sin(ax) avec b voisin de a. On rencontre ce type de courbe lorsqu'un phénomène oscillant se trouve perturbé par un signal sinusoïdal proche de sa fréquence. Ci-dessous, on a effectué deux "zooms" au voisinage de l'origine :

zoom x 4

zoom x 25

Séries trigonométriques, séries de Fourier : 

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Cosinus

• Nom de la fonction : cosinus (circulaire), abrégé en cos  Oughtred. C'est une fonction transcendante.
  Étymologie : du latin cum = avec donnant en français co = associé et sinus = pli. Peut aussi s'interpréter en sinus du complément (cf. ci-après).
• Définition possible : dans un repère orthonormé (O,I,J) , abscisse (à droite : mesure algébrique de OH) d'un point M en rotation sur un cercle centré en O, de rayon 1 (cercle trigonométrique), d'où le nom, là encore de fonction circulaire (au nombre de trois avec sinus, ci-dessus) et tangente.
• Périodique : oui, période : 2p
• Fonction paire = cos(-x) = cos(x)
• Fonction dérivée : -sin(x), opposée de la fonction sinus           calcul de la fonction dérivée
• Primitive : sin(x) + k       primitive de 1/cos(x)
• Nom de la courbe associée : sinusoïde car :
• Autre définition : cos x = sin (p/2 - x) : le cosinus d'un angle est le sinus de son complémentaire.
  Étymologie : du latin sinus = pli et du grec eidos = forme
• Développement en série : Leibniz
   
• Plus géométriquement : Comme pour la définition du sinus et avec les notations de la figure, cos^xAy = AB/AC, indépendant du choix de B.
   
• Plus "trigonométriquement" : dans un triangle ABC rectangle en A, le cosinus d'un angle aigu (^B ou ^C) est égal au quotient (des mesures) du côté adjacent par l'hypoténuse. Par exemple cos ^B = AB/BC.

Dérivabilité en 0 de sin(x)/x  : développement (très) limité de sin x

Pour le tracé du cosinus, l'abscisse de M a été renvoyée sur l'axe des ordonnées par rotation d'angle +p/2

Fonctions réciproques Arc sinus & Arc cosinus : 

Collégiens : apprenez à rédiger sans confondre un angle avec son sinus, son cosinus ou sa mesure... Par exemple, dans le triangle ABC ci-dessous, rectangle en A, on suppose AC = 5,2 cm et BC = 6 cm. La consigne est Calculer l'angle ^C à 0,1 près. Une rédaction pourra être la suivante :

La calculatrice affiche 29.926... Comme dans les exemples précédents, il ne faut pas lui fournir une approximation de la valeur du cosinus car vous risquez de perdre la (ou les) décimale(s) demandée(s). Ici, 5,2/6 = 0,866666666... En fournissant 0.86 au lieu de taper la séquence  5   .    2   ÷   6   =  sur la calculatrice (pour 5.2/6), vous trouverez 30.683..., soit 30°, 7 à 0,1 près ! Avec 0.866, vous obtiendrez : 30.0029..., soit 30° à 0,1 près, ce qui est acceptable.

Arrondis et troncature :

 On peut les prouver au moyen du théorème de Ptolémée sachant que cos x = sin(p/2 - x)

• cos(a + b) = cos a.cos b - sin a.sin b

• cos(a - b) = cos a.cos b + sin a.sin b                             formules de transformation de sommes en produits

• cos2a = cos²a - sin²a = 2cos²a - 1 = 1 - 2sin²a

Autres formules pratiques :

• cos(a + b + c) = cos a.cos b.cos c - sin a.sin b.cos c - sin a.cos b.sin c - cos a.sin b.sin c

• cos 3a = 4cos³a - 3cos a   ,   cos 4a = 8cos⁴a - 8cos²a + 1

• cos³a = ¼(cos 3a + 3cos a)

Werner Johannes :
 

 1  En remarquant que p/12 = p/3 - p/4, montrer que : cos(p/12) = (6 + 2)/4  , sin(p/12) = (6 - 2)/4

 2  En utilisant les développements de sin(a + b) et sin(a - b), exprimer 2sin a.cos b; en déduire la formule : sin x + sin 3x = 2sin 2x.cos x puis la résolution
     de l'équation sin x + sin 2x + sin 3x = 1 + cos x + cos 2x
     Rép. : l'équation se ramène à sin 2x = cos x ou 2cos x +1 = 0; d'où trois ensembles de solutions :  x = p/6 + 2kp/3,  x = p/2 + 2kp,   x = ±2p/3 + 2kp

3  On pose f(t) = 8 + 18sin² t + 24sin t.cos t pour tout réel t. Montrer que f(t) peut se mettre sous la forme a - b.cos(2t - a) où a, b et a sont positifs, a et b entiers, a exprimé en radians à 0,01 près dans l'intervalle [0, 2p].
     Rép. : f(t) = 17 + 12sin2t - 9cos2t = 17 - 15[3/5 x cos2t - 4/5 x sin2t] = 17 - 15cos(2t - a) où a est l'angle défini par cosa = 3/5 , sina = -4/5, soit
     a = 5,36 rad à 0,01 près, en ajoutant 2p à la détermination principale de a afin d'obtenir une valeur dans [0, 2p].

 4   En factorisant 2XY + 2Y - X - 1, déduire les solutions de l'équation sin 2x + 2cos x - sin x - 1 = 0.

 5     a/ Rappeler le développement de (a + b)³ et en déduire que pour tout réel x, on a : sin⁶x + cos⁶x = 1 - 3sin²xcos²x
       b/ Déduire de a/ une résolution de l'équation  (e) : sin⁶x + cos⁶x = 1.
       c/ Représenter sur le cercle trigonométrique les images des solutions de l'équation (e) lorsque x est élément de [0;2p].

 6     Quelles sont, dans l'intervalle [-p;+p] les solutions non rationnelles de l'équation 8cos3x = 6cosx - 2 ?
           Il sera bon de poser X = cos x et remarquer que X = 0,5 est une solution...

 7     Marée et sinusoïde